Savoir comment calculer la hauteur d’un triangle est indispensable pour résoudre de nombreux exercices en classe. Pourtant, cette notion reste parfois floue pour les élèves.
Dans ce guide, on vous explique ce qu’est une hauteur et comment la trouver facilement, selon que le triangle soit rectangle, équilatéral ou quelconque.
Qu’est-ce que la hauteur d’un triangle ?
La hauteur d’un triangle, c’est un segment perpendiculaire à la base, qui va jusqu’au sommet opposé.
À retenir :
- On peut choisir n’importe quel côté comme base.
- La hauteur est toujours perpendiculaire à cette base, et part du sommet en face.
Un triangle a donc trois hauteurs possibles, selon la base qu’on choisit.
Pourquoi c’est important ?
La hauteur sert à calculer l’aire du triangle avec la formule classique :
Et si on connaît l’aire et la base, on peut retrouver la hauteur :
Hauteur = (2 x Aire) / base
C’est une méthode simple et essentielle pour résoudre des problèmes concrets (mesurer une surface, vérifier un dessin technique, etc.).
Comment calculer la hauteur d’un triangle selon sa forme
La hauteur ne se calcule pas de la même façon selon le type de triangle.
Voyons ensemble les trois cas principaux : rectangle, équilatéral et quelconque.
① Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, la solution dépend du côté qu’on choisit comme base.
Si la base est un des côtés perpendiculaires (les “petits côtés”) :
l’autre côté est déjà la hauteur. Il n’y a rien à calculer.
Si la base est l’hypoténuse (le plus grand côté, en face de l’angle droit) :
on utilise la formule de l’aire pour retrouver la hauteur :
Exemple :
Un triangle rectangle a une aire de 30 cm² et une base (hypoténuse) de 12 cm :
Hauteur = (2 x Aire) / Base
= (2 x 30 cm²) / 12 cm
= (2 x 30 cm²) / 12 cm
Hauteur = 5 cm
Astuce prof : Demandez aux élèves de tester plusieurs “bases” sur un même triangle rectangle. Cela les aide à comprendre que la hauteur dépend du côté choisi comme base.
② Triangle équilatéral : une formule à connaître par cœur
Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles de 60°.
Sa hauteur se trace du sommet jusqu’au centre du côté opposé, à angle droit.
Formule pour la hauteur :
Cette formule vient du fait que le triangle peut être partagé en deux triangles rectangles de 30°–60°–90°.
Exemple :
Si le côté mesure 10 cm :
Hauteur = ( Côté x √3 ) : 2
= ( 10 cm x √3 ) : 2
≈ 8,66 cm
Astuce classe : Faites tracer un triangle équilatéral et le plier en deux pour visualiser la hauteur. Cela aide à comprendre la symétrie… et à retenir la formule.
③ Triangle quelconque : la méthode universelle
Quand le triangle n’est ni rectangle ni équilatéral, on parle de triangle quelconque.
La formule générale pour la hauteur fonctionne toujours si l’on connaît l’aire et la base :
C’est une formule simple, mais très utile quand les données sont complètes.
Exemple :
Aire = 24 cm², base = 6 cm :
Hauteur = (2 x Aire) / Base
= (2 x 24 cm²) / 6 cm
= 8 cm
Attention : la base choisie doit correspondre à la hauteur utilisée. Si l’élève change de base, il faut recalculer avec la bonne hauteur.
Comment calculer la hauteur d’un triangle sans connaître son aire ?
Parfois, on ne dispose pas directement de l’aire d’un triangle. Heureusement, il existe plusieurs méthodes fiables pour déterminer sa hauteur en fonction des données disponibles.
① Utiliser la trigonométrie (si un angle est connu)
Si vous connaissez deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux, vous pouvez utiliser la trigonométrie pour calculer la hauteur.
Formule :
Hauteur = Côté adjacent × sin (angle)
Par exemple, si un côté adjacent mesure 6 cm et l’angle compris est de 45° :
Hauteur = Côté adjacent × sin (angle)
= 6 cm × sin (45°)
= 6 cm × 0,7071
≈ 4,24 cm
Cette méthode est particulièrement utile pour les triangles non rectangles.
② Appliquer la formule de Héron (si les trois côtés sont connus)
Lorsque les longueurs des trois côtés d’un triangle sont connues, la formule de Héron permet de calculer son aire, puis d’en déduire la hauteur.
Étapes :
- Calculer le demi-périmètre ppp :
P= ( a + b + c ) : 2
- Utiliser la formule de Héron pour l’aire :
Aire = √ P(p−a)(p−b)(p−c)
- Calculer la hauteur correspondante à un côté choisi comme base :
Hauteur = ( 2 × Aire ) : Base
Cette méthode est universelle et s’applique à tous les types de triangles.
③ Tracer la hauteur géométriquement (sans calcul)
Il est également possible de déterminer la hauteur d’un triangle par construction géométrique, en utilisant une règle et une équerre pour tracer une perpendiculaire depuis un sommet vers le côté opposé (ou son prolongement). Cette méthode est particulièrement utile pour visualiser la hauteur et comprendre sa signification géométrique.
Points d’attention
- Choix de la base : La hauteur est toujours perpendiculaire à la base choisie. Il est essentiel de bien identifier la base pour appliquer correctement les formules.
- Triangles obtus : Dans les triangles obtus, la hauteur peut se situer à l’extérieur du triangle. Il est important d’en être conscient lors de la construction ou du calcul.
- Unité de mesure : Assurez-vous que toutes les mesures (longueurs, angles) sont dans les mêmes unités pour éviter les erreurs de calcul.
Récapitulatif : 3 cas, 3 méthodes pour la hauteur d’un triangle
On peut vite se perdre dans les formules. Pour aider élèves (et enseignants) à y voir clair, voici un résumé simple des trois grands cas de figure pour calculer la hauteur d’un triangle :
① Triangle rectangle
- Si la base est un des côtés de l’angle droit : l’autre côté est directement la hauteur.
- Si la base est l’hypoténuse : Hauteur = (2 x Aire) / Base
② Triangle équilatéral
- Formule directe, à connaître par cœur : Hauteur = ( Côté x √3 ) : 2
③ Triangle quelconque
- Méthode universelle (si on connaît l’aire) : Hauteur = (2 x Aire) / Base
- Sinon, utiliser la trigonométrie (sinus) ou la formule de Héron selon les données disponibles.
Comment bien enseigner la hauteur d’un triangle ?
3 bonnes pratiques à tester en classe :
- Changer de base sur un même triangle : pour montrer que la hauteur dépend de ce choix.
- Passer par le dessin et le pliage (triangle équilatéral notamment) : excellent pour visualiser.
- Utiliser des outils numériques (Géogébra, calculatrice graphique) : pour tester, comparer, vérifier.
À surveiller :
- Erreurs fréquentes : prendre le mauvais côté comme base, oublier la perpendiculaire, confondre hauteur et côté.
- Zones sensibles : triangle obtus (hauteur extérieure), usage du sinus sans contexte.
Conclusion : un petit segment… mais beaucoup à comprendre !
La hauteur d’un triangle peut paraître simple, mais elle cache de vraies subtilités géométriques.
En tant qu’enseignant, mieux on comprend ses différentes formes, mieux on peut outiller les élèves pour naviguer entre les types de triangles, les formules, et les problèmes à résoudre.
L’important n’est pas de tout retenir par cœur, mais de savoir s’adapter selon les données à disposition.
Et surtout, de montrer aux élèves que chaque méthode a sa logique, sa place… et sa raison d’être.
Salut , est-ce que vous pouvez m’aider à déterminer les coordonnées d’une hauteur ainsi que celles du centre de gravité d’un triangle rectangle .
Pour déterminer les coordonnées d’une hauteur et celles du centre de gravité d’un triangle rectangle, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
Tracez le triangle rectangle et étiquetez les sommets A, B et C, où C est l’angle droit.
Déterminez les coordonnées des sommets du triangle en utilisant les informations disponibles, telles que les longueurs des côtés et les angles.
Déterminez les coordonnées du point d’intersection des hauteurs en utilisant les équations de droites perpendiculaires passant par les sommets du triangle. Ce point est le pied de la hauteur depuis le sommet opposé.
Pour trouver les coordonnées du centre de gravité, vous pouvez utiliser la formule suivante :
x = (x1 + x2 + x3)/3
y = (y1 + y2 + y3)/3
où (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3) sont les coordonnées des sommets du triangle.
Le centre de gravité est le point où les trois médianes se croisent. Les médianes sont des segments de droite reliant chaque sommet au milieu de l’opposé.