La hauteur d’un triangle est un segment perpendiculaire à un côté (appelé base) et reliant ce côté au sommet opposé. Savoir comment calculer une hauteur est essentiel pour déterminer l’aire de tout triangle et résoudre de nombreux problèmes géométriques.
Il existe trois hauteurs dans chaque triangle, correspondant aux trois choix possibles de base. Quelle que soit la base choisie, la hauteur est toujours perpendiculaire à celle-ci.
À retenir La formule hauteur triangle universelle permet de calculer l’aire :
Aire = (Base × Hauteur) ÷ 2
Réciproquement, si l’aire et la base sont connues, voici comment calculer une hauteur :
Hauteur = (2 × Aire) ÷ Base
Attention Dans certains triangles obtusangles, la hauteur peut se situer à l’extérieur du triangle. Il faut alors prolonger la base pour tracer la perpendiculaire depuis le sommet opposé.
Formule hauteur triangle selon le type
Le calcul de la hauteur dépend directement de la nature du triangle considéré. On distingue trois cas principaux pour comment calculer la hauteur d’un triangle rectangle, équilatéral ou quelconque.
Comment calculer la hauteur d’un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, la méthode varie selon le côté choisi comme base.
- Cas 1 : La base est un côté de l’angle droit L’autre côté perpendiculaire constitue directement la hauteur. Aucun calcul n’est nécessaire.
- Cas 2 : La base est l’hypoténuse On applique la formule générale. Ce cas nécessite parfois le calcul hypotenuse au préalable si celle-ci n’est pas connue :
Hauteur = (2 × Aire) ÷ Hypoténuse
Exemple d’application :
Soit un triangle rectangle d’aire 30 cm² dont l’hypoténuse mesure 12 cm.
Hauteur = (2 × 30) ÷ 12 = 60 ÷ 12 = 5 cm
À retenir Le théorème de Pythagore permet de retrouver l’aire si l’on connaît les deux côtés de l’angle droit : Aire = (côté₁ × côté₂) ÷ 2
Pour le calcul hypotenuse quand elle n’est pas donnée : Hypoténuse² = côté₁² + côté₂²
Hauteur triangle équilatéral : formule spécifique
Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux et trois angles de 60°. Sa hauteur présente des propriétés remarquables.
Formule spécifique hauteur triangle équilatéral
Hauteur = (Côté × √3) ÷ 2
Cette formule découle directement des propriétés trigonométriques du triangle 30°-60°-90°, car la hauteur partage le triangle équilatéral en deux triangles rectangles identiques.
Exemple d’application :
Pour un triangle équilatéral de côté 10 cm :
Hauteur = (10 × √3) ÷ 2 = (10 × 1,732) ÷ 2 ≈ 8,66 cm
Important ! Cette formule est à mémoriser. Elle permet également de calculer rapidement l’aire d’un triangle équilatéral : Aire = (Côté² × √3) ÷ 4
Triangle quelconque
Pour un triangle quelconque (ni rectangle, ni équilatéral), la formule générale s’applique systématiquement.
Formule universelle
Hauteur = (2 × Aire) ÷ Base
Cette relation fonctionne pour tous les triangles, quelle que soit leur forme.
Exemple d’application Soit un triangle d’aire 24 cm² et de base 6 cm :
Hauteur = (2 × 24) ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8 cm
Attention Il faut s’assurer que la base choisie correspond bien à la hauteur calculée. Si l’on change de base, il faut recalculer avec la hauteur perpendiculaire à cette nouvelle base.
Méthodes avancées sans aire connue
Lorsque l’aire du triangle n’est pas disponible, plusieurs méthodes permettent néanmoins de déterminer la hauteur.
Méthode trigonométrique
Si l’on connaît un côté adjacent et l’angle compris, on utilise la fonction sinus.
Formule
Hauteur = Côté adjacent × sin (angle)
Exemple d’application :
Pour un côté de 6 cm et un angle de 45° :
Hauteur = 6 × sin(45°) = 6 × 0,707 ≈ 4,24 cm
Important Cette méthode nécessite une calculatrice scientifique pour obtenir la valeur du sinus. Elle est particulièrement efficace lorsque les mesures angulaires sont disponibles.
Formule de Héron
Lorsque les trois côtés du triangle sont connus (notés a, b et c), la formule de Héron permet de calculer l’aire, puis d’en déduire la hauteur.
Étapes de calcul
- Calculer le demi-périmètre : p = (a + b + c) ÷ 2
- Appliquer la formule de Héron : Aire = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]
- Déterminer la hauteur : Hauteur = (2 × Aire) ÷ Base choisie
Exemple d’application Pour un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm, avec base de 6 cm :
- p = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9 cm
- Aire = √[9 × (9−5) × (9−6) × (9−7)] = √[9 × 4 × 3 × 2] = √216 ≈ 14,7 cm²
- Hauteur = (2 × 14,7) ÷ 6 ≈ 4,9 cm
À retenir Cette méthode est universelle et fonctionne pour tous les triangles, mais nécessite de connaître les trois longueurs des côtés.
Construction géométrique
Il est possible de tracer la hauteur sans calcul, en utilisant une équerre et une règle graduée.
Méthode de construction
- Choisir un côté comme base
- Placer l’équerre perpendiculairement à cette base
- Faire glisser l’équerre jusqu’au sommet opposé
- Tracer la perpendiculaire et mesurer sa longueur
Cette approche permet de visualiser concrètement la notion de hauteur et de vérifier les calculs théoriques.
Applications et exercices
Tableau récapitulatif : comment calculer une hauteur selon les cas
| Type de triangle | Méthode de calcul | Formule hauteur triangle |
|---|---|---|
| Rectangle (base = côté de l’angle droit) | Lecture directe | Hauteur = autre côté perpendiculaire |
| Rectangle (base = hypoténuse) | Formule générale + calcul hypotenuse si besoin | Hauteur = (2 × Aire) ÷ Hypoténuse |
| Équilatéral | Formule spécifique hauteur triangle équilatéral | Hauteur = (Côté × √3) ÷ 2 |
| Quelconque avec aire connue | Formule générale | Hauteur = (2 × Aire) ÷ Base |
| Avec angle connu | Trigonométrie | Hauteur = Côté × sin(angle) |
| Avec trois côtés connus | Formule de Héron | Voir méthode en 3 étapes |
Points de vigilance
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre hauteur et côté du triangle
- Oublier que la hauteur doit être perpendiculaire à la base
- Utiliser une hauteur ne correspondant pas à la base choisie
- Négliger les cas où la hauteur est extérieure au triangle
Conseil méthodologique Pour vérifier un calcul de hauteur, recalculer l’aire avec la formule Aire = (Base × Hauteur) ÷ 2 et comparer avec l’aire initiale si elle était connue.
Questions fréquentes
Comment trouver la hauteur d’un triangle sans connaître son aire ?
Plusieurs méthodes existent selon les données disponibles :
- Avec un angle : utiliser la trigonométrie (Hauteur = Côté × sin(angle))
- Avec trois côtés : appliquer la formule de Héron puis calculer la hauteur
- Par construction : tracer géométriquement avec équerre et règle
Quelle est la formule hauteur triangle la plus universelle ?
La formule universelle valable pour tous les triangles est :
Hauteur = (2 × Aire) ÷ Base
Cette relation fonctionne quel que soit le type de triangle (rectangle, équilatéral, quelconque).
Comment calculer la hauteur d’un triangle rectangle quand on connaît les deux côtés ?
Si les deux côtés de l’angle droit sont connus (exemple : 3 cm et 4 cm) :
- Calculer l’aire : Aire = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm²
- Calculer l’hypoténuse : √(3² + 4²) = 5 cm (calcul hypotenuse)
- Appliquer la formule : Hauteur = (2 × 6) ÷ 5 = 2,4 cm
Pourquoi la hauteur triangle équilatéral utilise-t-elle √3 ?
La hauteur triangle équilatéral découle de la trigonométrie : dans un triangle 30°-60°-90°, le rapport entre le côté opposé à 60° et l’hypoténuse vaut √3/2. D’où la formule : Hauteur = (Côté × √3) ÷ 2.
Salut , est-ce que vous pouvez m’aider à déterminer les coordonnées d’une hauteur ainsi que celles du centre de gravité d’un triangle rectangle .
Pour déterminer les coordonnées d’une hauteur et celles du centre de gravité d’un triangle rectangle, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
Tracez le triangle rectangle et étiquetez les sommets A, B et C, où C est l’angle droit.
Déterminez les coordonnées des sommets du triangle en utilisant les informations disponibles, telles que les longueurs des côtés et les angles.
Déterminez les coordonnées du point d’intersection des hauteurs en utilisant les équations de droites perpendiculaires passant par les sommets du triangle. Ce point est le pied de la hauteur depuis le sommet opposé.
Pour trouver les coordonnées du centre de gravité, vous pouvez utiliser la formule suivante :
x = (x1 + x2 + x3)/3
y = (y1 + y2 + y3)/3
où (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3) sont les coordonnées des sommets du triangle.
Le centre de gravité est le point où les trois médianes se croisent. Les médianes sont des segments de droite reliant chaque sommet au milieu de l’opposé.