Le prisme, une forme solide avec des faces plates, tire son allure de sa base. Sa surface totale, l’union de toutes ses faces, dépend de cette base. Simple et direct, sans courbes, le prisme illustre la rencontre entre sa forme de départ et l’espace qu’il occupe, une histoire écrite en lignes droites et angles nets.
L’aire d’un prisme droit
C’est en sommant les aires de toutes ses faces planes qu’on dévoile son espace total. Calculer la surface d’un prisme, c’est rassembler les dimensions de chacune de ses faces pour révéler la toile complète de son architecture tridimensionnelle.
Comment calculer l’aire d’un prisme droit ?
Pour calculer l’aire d’un prisme droit, vous devez suivre deux étapes principales.
- D’abord, calculez l’aire latérale en multipliant le périmètre de l’une des bases par la hauteur du prisme.
- Ensuite, pour obtenir l’aire totale du prisme, ajoutez l’aire des deux bases à l’aire latérale.
| Aire latérale = Périmètre de la Base × Hauteur |
L’aire totale est la somme de l’aire latérale et de l’aire des deux bases, ce qui se traduit par la formule
| Aire totale = ( 2 × Aire de base ) + Aire latérale |
Pour calculer l’aire d’un prisme droit, la méthode varie en fonction de la forme de sa base. Voici les formules et des exemples pour chaque cas, basés sur les informations trouvées :
Prisme à base rectangulaire
L’aire totale d’un prisme droit à base rectangulaire se calcule en additionnant deux fois l’aire de la base à l’aire latérale.
Pour un prisme dont les bases sont des rectangles, l’aire de la base ( Ab ) est le produit de la longueur ( L ) par la largeur ( l ), et l’aire latérale est la somme de deux fois la hauteur ( h ) multipliée par la longueur plus deux fois la hauteur multipliée par la largeur.
| A = ( 2× L× l ) + 2 × (L+l) × h |
Exemple :
Considérons un prisme dont les arêtes de la base mesurent respectivement 3 cm, 4 cm, et 5 cm, et dont la hauteur est de 8 cm.
Le périmètre de la base est la somme des longueurs des côtés de la base :
P = 3 cm + 4 cm + 5 cm
=12 cm
L’aire latérale du prisme est obtenue en multipliant le périmètre de la base par la hauteur :
A= Périmètre de la base × Hauteur
= 12 cm × 8 cm
=96 cm2.
Prisme à base carrée
Pour calculer l’aire d’un prisme carré, on utilise la formule :
| A = ( 2 × a × a ) + ( 4 × a × h ) |
où a est la longueur du côté de la base carrée et h est la hauteur du prisme.
En insérant les valeurs données dans la formule :
- a = 3 cm
- h = 5 cm
On obtient :
A = ( 2 × a × a ) + ( 4 × a × h )
= ( 2 × 3 cm × 3 cm ) + ( 4 × 3 cm × 5 cm )
= 18 cm + 60 cm
A = 78 cm2
Ainsi, l’aire de ce prisme carré est de 78 cm2, ce qui correspond à la surface totale occupée par toutes les faces du prisme.
Prisme à base triangulaire
Un prisme triangulaire est une forme en 3D avec deux bases triangulaires et trois faces rectangulaires latérales. L’aire totale est la somme de l’aire des bases et de l’aire latérale. La formule simplifiée est :
| Aire totale = ( b × h ) +( a+b+c) × H |
où :
- a, b, et c représentent les longueurs des côtés des bases triangulaires.
- b et h désignent respectivement la base et la hauteur d’une base triangulaire.
- H est la hauteur du prisme, c’est-à-dire la distance entre les deux bases triangulaires.
Exemple :
Pour calculer la surface du prisme triangulaire avec les mesures données, nous utilisons la formule :
Aire totale = ( b × h ) +( a+b+c) × H
En remplaçant par les valeurs fournies :
- a = 5 cm, b = 6 cm, et c = 5 cm sont les longueurs des côtés du triangle.
- La base (b) et la hauteur (h) des faces triangulaires sont 6 cm et 4 cm respectivement.
- La hauteur du prisme (H) est de 15 cm.
La formule devient :
Aire totale = ( b × h ) +( a+b+c) × H
Aire totale = ( 6 cm × 4 cm ) +( 5 cm + 6 cm + 5 cm ) × 15 cm
= 24 cm +16 cm × 15 cm
= 24 cm + 240 cm2
Aire totale = 264 cm3
L’aire totale de ce prisme droit à base triangulaire est 264 cm3.
Lire aussi : comment calculer le volume d’un prisme droit
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