Le volume d’une pyramide est l’espace qu’elle occupe. C’est le nombre de cubes unitaires qu’elle peut contenir. Une pyramide est un polyèdre, car ses faces sont constituées de polygones. Il existe différents types de pyramides, comme la pyramide triangulaire, la pyramide carrée, la pyramide rectangulaire, la pyramide pentagonale, etc. Elles sont nommées d’après leur base, c’est-à-dire que si la base d’une pyramide est un carré, elle est appelée pyramide carrée. Toutes les faces latérales d’une pyramide sont des triangles dont un côté de chaque triangle se confond avec un côté de la base. Étudions plus en détail le volume d’une pyramide, ainsi que sa formule, sa preuve et quelques exemples résolus. Mais, comment calculer le volume d’une pyramide ?
Qu’est-ce que le volume d’une pyramide ?
Le volume d’une pyramide est l’espace compris entre ses faces. Le volume d’une pyramide est toujours égal au tiers du volume d’un prisme lorsque les bases du prisme et de la pyramide sont congruentes et que les hauteurs de la pyramide et du prisme sont également les mêmes, c’est-à-dire que trois pyramides identiques de n’importe quel type peuvent être disposées pour former un prisme du même type, de sorte que les hauteurs de la pyramide et du prisme soient les mêmes et que leurs bases soient congruentes,
- Trois pyramides rectangulaires peuvent être disposées pour former un prisme rectangulaire.
- Trois pyramides carrées peuvent être disposées pour former un cube, etc.
Nous pouvons comprendre cela grâce à l’activité suivante. Prenez une pyramide à base carrée pleine de sable et prenez un prisme rectangulaire vide dont la base (est un carré) et la hauteur sont identiques à celles de la pyramide. Versez le sable de la pyramide dans le prisme, nous pouvons voir que le prisme est exactement rempli au tiers.
Comment calculer le volume d’une pyramide ?
Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme correspondant (c’est-à-dire que leurs bases et leurs hauteurs sont congruentes).
Formule du volume d’une pyramide :
| Volume de la pyramide = (1/3) (Bh) |
, où
B = Surface de la base de la pyramide
h = Hauteur de la pyramide (qui est également appelée « altitude »)
Comment calculer le volume des différents types de pyramides ?
Dans la section précédente, nous avons appris que le volume d’une pyramide est égal à (1/3) × (surface de la base) × (hauteur de la pyramide).
Vous pouvez voir ici les formules de calcul du volume de différents types de pyramides. Vous apprendrez la formule pour calculer le volume d’une pyramide :
- Comment calculer le volume d’une pyramide à base carrée ?
- Comment calculer le volume d’une pyramide à base rectangulaire ?
- Comment calculer la hauteur d’une pyramide à base rectangulaire ?
- Comme comment calculer la hauteur d’une pyramide à base pentagonale ?
- Comment calculer la hauteur d’une pyramide à base hexagonale ?
| Pyramide | volume |
Pyramide triangulaire | V = 1/3 × B × h = 1/3 × 1/2 × bH × h V = 1/6 × B H h |
Pyramide carrée | V = 1/3 × B × h V = 1/3 × a 2 × h |
Pyramide rectangulaire | V = 1/3 × B × h = 1/3 × L × l × h V = 1/6 × L l h |
Pyramide pentagonale | V = 1/3 × B × h = 1/3 × 5/2 × ca × h V = 5/6 × c a h |
Pyramide hexagonale | V = 1/3 × B × h = 1/3 × 3 × a c × h V = a c h |
Comment calculer la hauteur d’une pyramide avec son volume ?
Pour calculer la hauteur d’une pyramide à partir de son volume, on peut utiliser le théorème de Pythagore et les propriétés d’une pyramide droite. Supposons que nous ayons une pyramide droite dont le volume est connu. Pour obtenir un triangle rectangle, nous traçons la hauteur de l’apex jusqu’au centre de la base, ce qui crée l’apothème de la pyramide.
La mesure de la cathète du triangle correspond alors à la moitié de la mesure du côté de la base, puisque la hauteur se termine au centre de la base. En utilisant le théorème de Pythagore, où a et b représentent les cathètes et c représente l’apothème, on peut établir l’équation : a² + b² = c². Si nous connaissons la valeur de l’apothème et d’une des cathètes, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la valeur de l’autre cathète.
Ensuite, en utilisant la hauteur de la pyramide comme l’une des cathètes et l’apothème comme l’hypoténuse, nous pouvons appliquer à nouveau le théorème de Pythagore pour trouver la valeur de la hauteur.
Par exemple, si nous avons une pyramide dont l’apothème mesure 3 cm et une cathète mesure 5 cm, nous pouvons calculer l’autre cathète en résolvant l’équation : 5² + b² = 3², ce qui nous donne b = 4 cm. En utilisant ensuite le théorème de Pythagore une deuxième fois, avec h comme la hauteur et l’apothème comme l’hypoténuse, nous obtenons : h² + 4² = 5², ce qui donne h = 4 cm. Ainsi, la hauteur de cette pyramide serait de 4 cm.
Exemples sur le volume d’une pyramide
Voici des exemples sur le volume d’une pyramide :
Exemple 1
une pyramide a une base mesurant environ 755 m × 755 m et sa hauteur est d’environ 480 m. Calculez son volume.
Solution :
La pyramide est une pyramide carrée. Sa surface de base (surface du carré) est de,
B = 755 × 755 = 570 025 mètres carrés.
La hauteur de la pyramide est de h = 480 m.
En utilisant la formule du volume de la pyramide,
Volume de la pyramide, V = (1/3) (Bh)
V = (1/3) × 570 025 × 480
V = 91 204 000 mètres cubes.
Réponse
Le volume de la pyramide de Khéops est de 91 204 000 mètres cubes.
Exemple 2
Une pyramide possède un hexagone régulier de 6 cm de côté et de 9 cm de hauteur. Trouvez son volume.
Solution :
La longueur des côtés de la base (hexagone régulier) est de a = 6.
L’aire de la base (aire de l’hexagone régulier) est,
B = (3√3/2) × a2
B = (3√3/2) × 62 ≈ 93,53 cm2.
La hauteur de la pyramide est h = 9 cm.
Le volume de la pyramide hexagonale est,
V = (1/3) (Bh)
= (1/3) × 93,53 × 9
V = 280,59 cm3
- Réponse
Le volume de la pyramide est de 280,59 cm3.
Exemple 3
Tom a construit une tente rectangulaire (qui a la forme d’une pyramide rectangulaire) pour son camp de nuit. La base de la tente est un rectangle de 6 mètres de longueur × 10 mètres de largeur et sa hauteur est de 3 mètres. Quel est le volume de la tente ?
Solution :
La surface de base (surface du rectangle) de la tente est B = 6 × 10 = 60 mètres carrées.
La hauteur de la tente est de h = 3 mètres.
Le volume de la tente, calculé à l’aide de la formule du volume de la pyramide, est le suivant,
V = (1/3) (Bh)
= (1/3) × 60 × 3
V = 60 m3.
- Réponse
Le volume de la tente est de 60 m3.
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