Le volume d’un prisme, c’est son espace intérieur. Il existe plusieurs formes de prismes : triangulaire, carré, rectangulaire, pentagonal, hexagonal, ou octogonal. Toutefois, la façon de calculer leur volume reste identique, quel que soit le type de prisme. Cette méthode universelle s’applique à toutes les formes en trois dimensions. Dans les lignes qui suivent, nous verrons comment calculer le volume d’un prisme droit grâce à des exemples concrets.
Qu’est-ce que le volume d’un prisme ?
Le volume d’un prisme mesure l’espace qu’il occupe. Un prisme est un objet en trois dimensions avec deux faces identiques et les autres en forme de parallélogramme. Selon la forme de sa base, il peut être appelé prisme triangulaire, carré, rectangulaire, pentagonal, hexagonal, ou octogonal. Chaque type de prisme remplit un espace en trois dimensions. Le volume se mesure en unités cubiques, comme les mètres cubes ou les centimètres cubes.
Formule de volume d’un prisme droit
La formule du volume d’un prisme est donnée par le produit de l’aire de la base et de la hauteur du prisme.
| V = B × H Volume prisme droit = l’aire de la base × la hauteur du prisme |
Ainsi, comme les bases de différents types de prismes sont différentes, les formules pour déterminer le volume du prisme le sont également. Regardez le tableau ci-dessous pour comprendre ce concept plus en détail :
| Forme de Prisme | Base | Formule de volume |
|---|---|---|
| Prisme à base triangulaire | Triangle | V = 1/2 × longueur × largeur × hauteur. |
| Prisme à base carré | Carré | Volume du prisme carré = Aire du carré × hauteur du prisme V = A × h |
| Prisme à base rectangulaire | Rectangle | V = Longueur × Largeur × Hauteur |
| Prisme à base trapézoïdal | Trapézoïde | V = [1/2 × (base1 + base2) × hauteur] × hauteur du prisme |
| Prisme à base pentagonal | Pentagone | V = [1 /2 × 5 × côté × apothème] × hauteur du prisme. |
| Prisme à base hexagonal | Hexagone | Volume = Aire de la base × Hauteur |
| Prisme à base octogonal | Octogone | Volume = Aire de l’octogone × hauteur du prisme |
Ainsi, le volume d’un prisme peut être exprimé comme V = B × H où V est le volume, B l’aire de la base et H la hauteur du prisme. L’unité de l’aire de base est exprimée en unités carrées et la hauteur du prisme est exprimée en unités de longueur. Par conséquent, l’unité de volume du prisme est donnée comme V = (unités carrées) × (unités de longueur) = unités cubes.
Comment calculer le volume d’un prisme ?
1. Volume d’un prisme droit à base triangulaire
V = 1/2 × longueur × largeur × hauteur.
Supposons qu’un prisme droit ait une base triangulaire avec une base de 5 cm et une hauteur de base de 7 cm. Si la hauteur du prisme est de 15 cm, le calcul du volume serait le suivant :
V = 1/2 × longueur × largeur × hauteur
V = 1/2 × 5 cm × 7 cm ×15 cm
= 262.5 cm3
Donc, le volume du prisme droit à base triangulaire est de 262,5 cm3. Cette méthode reste la même quel que soit le type de prisme droit à base triangulaire que vous avez.
2. Volume d’un prisme droit à base carrée
Volume du prisme carré = Aire du carré × hauteur du prisme
V = A × h
Par exemple, si la base a un côté de 4 cm et que la hauteur du prisme est de 10 cm, le volume sera :
V = A × h
= C × C × H
= 4 cm × 4 cm × 10 cm
V = 160 cm3
3. Volume d’un prisme droit à base hexagonale
Si un prisme droit a une base hexagonale avec chaque côté mesurant 4 cm et sa hauteur est de 10 cm, alors l’aire de la base hexagonale est :
Aire = (3 √ 3) : 2 × côté2
= (3 √ 3) : 2 × 42
= (3 √ 3) : 2 × 42
Aire ≈ 41.57cm2
Ensuite, le volume du prisme est :
Volume = Aire de la base × Hauteur
= 41.57cm2 ×10 = 415.7cm3
Ainsi, le volume du prisme est de 415.7cm3.
Cela signifie que le volume du prisme droit à base hexagonale est de 415.7cm3.
4. Volume d’un prisme droit à base rectangulaire
Pour calculer le volume d’un prisme droit à base rectangulaire, utilisez la formule :
V = Longueur × Largeur × Hauteur
Supposons que la base rectangulaire ait une longueur de 5 cm, une largeur de 3 cm, et que la hauteur du prisme soit de 10 cm. Le calcul serait :
V = Longueur × Largeur × Hauteur
V = 5 cm × 3 cm × 10 cm
=150 cm³
Le volume du prisme est donc de 150 cm³.
5. Volume d’un prisme droit à base trapézoïdal
Pour calculer le volume d’un prisme à base trapézoïdale, la formule est :
V = [1/2 × (base1 + base2) × hauteur] × hauteur du prisme
avec b1 et b2 représentant les longueurs des bases du trapèze et h la hauteur du trapèze. Si la hauteur du prisme est H, alors le volume V est calculé en multipliant l’aire de la base par cette hauteur H.
Imaginons un prisme à base trapézoïdale où les bases b1 et b2 mesurent respectivement 6 cm et 4 cm, la hauteur du trapèze h est de 3 cm, et la hauteur du prisme H est de 10 cm.
V = [1/2 × (base1 + base2) × hauteur] × hauteur du prisme
= [1/2 × (6 cm + 4 cm) × 3 cm] × 10 cm
= [1/2 ×10cm × 3 cm] × 10 cm
V = 150 cm3
6. Volume d’un Prisme à base pentagonal
V = [1 /2 × 5 × côté × apothème] × hauteur du prisme
Supposons que le côté du pentagone mesure 4 cm, l’apothème (distance du centre à un côté) mesure 3,2 cm, et la hauteur du prisme est de 10 cm. Le calcul sera :
V = [1 /2 × 5 × côté × apothème] × hauteur du prisme
V = (1/2 × 5 × 4 cm × 3,2 cm ) × 10 cm
=320 cm3
7. Volume d’un prisme à base octogonal
Pour calculer le volume d’un prisme octogonal, utilisez la formule de l’aire de la base octogonale multipliée par la hauteur du prisme :
V = Aire base × Hauteur
L’aire d’un octogone régulier est calculée avec Aire = 2 × (1+√2) × C2 , où cc est la longueur d’un côté.
Aire base = 2× (1+√2) × 42
=2 × (1+√2)×16
≈ 2× 2,414 × 16
=77,25 cm2
Le volume du prisme est alors :
V = Aire base × Hauteur
=77,25 cm2 × 10 cm
V = 772,5 cm3
Ainsi, le volume du prisme octogonal est de 772,5 cm³.
Exercices sur le volume d’un prisme droit avec corrigé
Exercice 1
Trouver le volume d’un prisme dont l’aire de la base est de 3 centimètres carrés et la hauteur est de 7 centimètres.
Solution
- Comme nous le savons, le volume du prisme est V = B × H.
- Étant donné que : B = 3 centimètres carrés,
- H = 7 centimètres Ainsi, le volume du prisme,
- V = B × H ⇒ V = 3 × 7 = 21 cm 3
- Par conséquent, le volume du prisme est de 21 pouces cubes.
Notes importantes
Le volume de tout prisme dépend de la forme de sa base. Avec le changement de forme de la base, l’aire de la base change également.
Exercice 2
Quelle est l’aire de la base du prisme si le volume du prisme est de 324 centimètres cubes et la hauteur du prisme est de 9 centimètres ?
Solution
- Les dimensions données sont :
- le volume du prisme = 324 centimètres cubes
- et la hauteur du prisme = 9 centimètres.
- Soit « B » l’aire de la base du prisme.
- En substituant les valeurs dans la formule du volume du prisme,
- Volume du prisme = V = B × H = 324 unités cubes
- ⇒ 9B = 324
- ⇒ B = 36 centimètres carrées
- Par conséquent, l’aire de la base du prisme est de 36 centimètres carrés.
Exercice 3
Trouver la hauteur du prisme si le volume du prisme est de 729 centimètres cubes et l’aire de la base est de 27 centimètres carrés.
Solution :
- Les dimensions données sont :
- le volume du prisme = 729 centimètres cubes
- et l’aire de la base du prisme = 27 centimètres carrés.
- Soit « H » la hauteur du prisme.
- En substituant les valeurs dans la formule du volume du prisme,
- Volume du prisme = V = B × H = 729 centimètres cubes
- ⇒ 27H = 729
- ⇒ H = 27 centimètres
- Par conséquent, la hauteur du prisme est de 27 centimètres.
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